Elektrický potenciál

Elektrický potenciál je skalární fyzikální veličina, která popisuje potenciální energii jednotkového elektrického náboje v elektrostatickém poli. Jedná se o potenciál elektrického pole, tj. množství práce potřebné pro přenesení jednotkového elektrického náboje ze vztažného místa o nulovém potenciálu (tzv. vztažný bod) do daného místa. Za místo s nulovým potenciálem se obvykle bere buď nekonečně vzdálený bod nebo povrch Země. Rozdíl potenciálů dvou bodů je roven napětí mezi danými body.

Značka: ${\displaystyle \varphi }$

Jednotka SI: volt, značka ${\displaystyle V}$

Potenciál bodového náboje ${\displaystyle Q}$ umístěného v počátku soustavy souřadnic lze vyjádřit vztahem:

${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{|{\boldsymbol {r}}|}}+\varphi _{0}}$,

kde ${\displaystyle \varepsilon }$ je permitivita prostředí, ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ je polohový vektor potenciálu ${\displaystyle \varphi }$ a ${\displaystyle \varphi _{0}}$ je integrační konstanta, která určuje hodnotu potenciálu v nekonečnu. Obvykle se klade ${\displaystyle \varphi _{0}=0}$.

Potenciál objemově rozloženého náboje lze vyjádřit vztahem:

${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int _{V}{\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}^{\prime })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime }|}}\mathrm {d} V}$,

kde ${\displaystyle V}$ je objem, přes který se integruje a ${\displaystyle \rho }$ je objemová hustota náboje.

Tento potenciál je definován ve všech bodech prostoru daného objemu, tedy také v bodech, ve kterých je hustota náboje nenulová. Tím se potenciál spojitě rozloženého náboje odlišuje od potenciálu soustavy diskrétních bodových nábojů. Tento potenciál je navíc všude spojitý a má ve všech bodech prostoru parciální derivaci alespoň prvního řádu, což v souvislosti s intenzitou elektrického pole znamená, že také intenzita pole daná tímto vztahem je definována ve všech bodech prostoru včetně bodů, v nichž je hustota náboje nenulová. Totéž platí pro plošně resp. lineárně rozložené náboje:

Potenciál plošně rozloženého náboje lze vyjádřit vztahem:

${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int _{S}{\frac {\sigma ({\boldsymbol {r}}^{\prime })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime }|}}\mathrm {d} S}$,

kde ${\displaystyle S}$ je plocha, přes kterou se integruje a ${\displaystyle \sigma }$ je plošná hustota náboje.

Potenciál lineárně rozloženého náboje lze vyjádřit vztahem:

${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int _{l}{\frac {\tau ({\boldsymbol {r}}^{\prime })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime }|}}\mathrm {d} l}$,

kde ${\displaystyle l}$ je délka, přes kterou se integruje a ${\displaystyle \tau }$ je lineární hustota náboje.

Jelikož elektrický potenciál vyjadřuje potenciální energii na jednotku náboje, je možné jej vyjádřit jako

${\displaystyle \varphi ={\frac {W}{Q}}}$,

kde ${\displaystyle W}$ je potenciální energie nabitého tělesa a ${\displaystyle Q}$ je jeho náboj.

Na základě principu superpozice lze odvodit výraz pro potenciál soustavy ${\displaystyle n}$ bodových nábojů ${\displaystyle Q_{1}}$ až ${\displaystyle Q_{n}}$, jejichž polohové vektory jsou ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{1}}$ až ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{n}}$:

${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i}|}}+\varphi _{0}}$.

Potenciál jednoho z bodových nábojů ${\displaystyle Q_{i}}$ ze soustavy nábojů ${\displaystyle Q_{1}}$ až ${\displaystyle Q_{n}}$ vzhledem k ostatním nábojům soustavy lze určit podle principu superpozice jako

${\displaystyle \varphi _{i}={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{j\neq i}^{n}{\frac {Q_{j}}{|{\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {r}}_{j}|}}}$.

Dosadíme-li do Gaussova zákona elektrostatiky pro spojitě rozložený náboj místo intenzity elektrického pole potenciál, dostaneme:

${\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {E}}=-\operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,\varphi ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$,

tj. pro Laplaceův operátor ${\displaystyle \Delta =\operatorname {div} \,\operatorname {grad} }$ dostaneme Poissonovu rovnici ${\displaystyle \Delta \varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$, která je platná ve všech bodech prostoru, v nichž platí Gaussův zákon elektrostatiky. Pokud je v některých bodech prostoru objemová hustota nulová, tj. ${\displaystyle \rho =0}$, zjednoduší se rovnice na Laplaceova rovnici ${\displaystyle \Delta \varphi =0}$.

Záporný gradient potenciálu je roven intenzitě elektrického pole, tj.:

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}})=-\operatorname {grad} \,\varphi ({\boldsymbol {r}})}$.

Potenciál elektrostatického pole pak lze chápat jako potenciální energii jednotkového náboje. Položíme-li potenciál v nekonečnu roven nule, tj. ${\displaystyle \varphi _{0}=0}$, pak lze psát:

${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}})=-\int _{\infty }^{\boldsymbol {r}}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}}$.

Plocha, na níž si potenciál zachovává svoji hodnotu, tj. ${\displaystyle \varphi ={\mbox{konst}}}$, se nazývá ekvipotenciální plocha. Siločáry jsou vždy kolmé k ekvipotenciální ploše. To lze ukázat diferenciací vztahu ${\displaystyle \varphi ={\mbox{konst}}}$, tj.:

${\displaystyle \mathrm {d} \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\mathrm {d} z=-(E_{x}\mathrm {d} x+E_{y}\mathrm {d} y+E_{z}\mathrm {d} z)=-{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=0}$,

kde ${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}$ leží v rovině tečné k ekvipotenciální ploše. Vektory ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ a ${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}$ jsou tedy vzájemně kolmé, tzn. ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ je kolmé k ekvipotenciální ploše.

• SEDLÁK, Bedřich; ŠTOLL, Ivan. Elektřina a magnetismus. 3. vyd. Praha: Karolinum, 2012. 595 s. ISBN 978-80-246-2198-2. 

• Elektrické napětí
• Elektrický náboj
• Elektrické pole

• Obrázky, zvuky či videa k tématu elektrický potenciál na Wikimedia Commons
• Maxwellův proud na WIKI Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy