Z-transformace

Z-transformace je název několika matematických transformací.

Funkce komplexní proměnné

Z-transformace (jednostranná, unilaterální) posloupnosti x ( k ) {\displaystyle x(k)} je definována

X ( z ) = ∑ k = 0 ∞ x ( k ) z − k {\displaystyle X(z)=\sum _{k=0}^{\infty }x(k)z^{-k}} ,

kde z {\displaystyle z} je komplexní proměnná. Množina hodnot z {\displaystyle z} , pro něž sumace konverguje, se nazývá oblast konvergence. Lze ukázat, že jestliže sumace konverguje pro danou posloupnost v bodě z 0 {\displaystyle z_{0}} , pak konverguje v každém bodě z {\displaystyle z} , pro který platí | z | > | z 0 | {\displaystyle \left|z\right|>\left|z_{0}\right|} . Oblast konvergence Z-transformace je tedy | z | > R {\displaystyle \left|z\right|>R} , kde R {\displaystyle R} je dáno chováním posloupnosti x ( k ) {\displaystyle x(k)} pro k → ∞ {\displaystyle k\to \infty } .

Inverzní Z-transformace je dána vztahem:

x ( k ) = 1 2 π i ∮ C X ( z ) z k − 1 d z {\displaystyle x(k)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}X(z)z^{k-1}\,\mathrm {d} z}

kde C {\displaystyle C} je jednoduchá uzavřená kladně orientovaná křivka ležící v oblasti konvergence a obklopující všechny póly.

S použitím Z-transformace se setkáme hlavně při řešení diferenčních rovnic, při hledání vlastností a realizaci systémů pracujících v diskrétním čase (např. digitální signální procesor).

Ve spojitém světě se za příbuzného Z-transformace považuje Laplaceova transformace.

Statistika

Fisherova z-transformace

Je-li r výběrový koeficient korelace mezi dvěma náhodnými vektory X a Y, má Fisherova Z-transformace tvar

Z = 1 2 ln ⁡ 1 + r 1 − r {\displaystyle Z={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+r}{1-r}}} .

Pokud oba náhodné vektory X i Y pocházejí z normálního rozdělení, má takto vzniklá náhodná veličina Z přibližně normální rozdělení.

Transformace na z-skóry

Jako z-transformace se ve statistice také označuje lineární transformace souboru hodnot kvantitativního (číselného) znaku. Jejím cílem je dosáhnout u transformovaného znaku průměru rovného nule a směrodatné odchylky rovné jedné. Hodnoty po transformaci se pak označují jako z-skóry.

Je-li průměr souboru hodnot roven μ a směrodatná odchylka rovna σ, má z-transformace tvar

y = x − μ σ {\displaystyle y={\frac {x-\mu }{\sigma }}} ,

kde x jsou původní hodnoty a y transformované hodnoty.


Související články

Externí odkazy