Spočetná množina

Spočetná množina je matematický pojem z teorie množin, označující množinu, kterou lze vzájemně jednoznačně (tzv. bijektivně) zobrazit na některou podmnožinu množiny přirozených čísel.

Zjednodušeně lze říci, že přívlastek spočetná o množině konstatuje, že „její prvky lze spočítat“. Spočítáním se zde rozumí očíslování prvků přirozenými čísly.

Podle toho, zda k očíslování postačuje, či nepostačuje konečný počet přirozených čísel, se spočetné množiny klasifikují jako konečné a nekonečné. V případě konečných spočetných množin se používá formulace, že v očíslování existuje nejvyšší přirozené číslo.

I když by se mohlo zdát, že celých čísel je více než přirozených (dalo by se říci „dvakrát více“), pojem spočetnosti toto zdání nereflektuje. Celá čísla přirozenými čísly očíslovat lze, např. následujícím způsobem:

• Celá čísla se seřadí — primárně vzestupně podle absolutní hodnoty, sekundárně vzestupně podle velikosti.
• Dle předchozího bodu seřazená množina se očísluje přirozenými čísly tak, jak po sobě tyto ve vzestupném pořadí následují:
  • ${\displaystyle 0}$ bude mít číslo ${\displaystyle 0}$;
  • ${\displaystyle -1}$ bude mít číslo ${\displaystyle 1}$;
  • ${\displaystyle 1}$ bude mít číslo ${\displaystyle 2}$;
  • ${\displaystyle -2}$ bude mít číslo ${\displaystyle 3}$;
  • ${\displaystyle 2}$ bude mít číslo ${\displaystyle 4}$;
  • ${\displaystyle -3}$ bude mít číslo ${\displaystyle 5}$;
  • ${\displaystyle 3}$ bude mít číslo ${\displaystyle 6}$;
  • …

Výše naznačené očíslování se považuje za důkaz spočetnosti množiny celých čísel. Říká se, že předvedeným způsobem se podaří očíslovat všechna celá čísla.

Další důkaz spočetnosti nekonečné množiny se nachází v článku Nespočetná množina.

Nabízí se otázka, zda vůbec existují jiné než spočetné množiny. V běžně používaných modelech teorie množin, kupř. Zermelově-Fraenkelově teorii množin, je odpověď kladná — existují. Takové množiny se nazývají nespočetné množiny a jejich příklady jsou množina reálných čísel nebo množina všech podmnožin množiny přirozených čísel.

Důkaz nespočetnosti množiny reálných čísel naleznete v článku Cantorova diagonální metoda.

Z Cantorovy věty dokonce vyplývá, že ke každé (tedy i nespočetné) množině existuje množina s větší mohutností — tedy ještě mnohem „nespočetnější“ množina než množina, k níž je tato množina dohledávána. V tomto smyslu — ve smyslu nekonečnosti — lze spočetné množiny považovat za pouhou vstupní bránu do světa mnohem větších nespočetných množin.

• že kartézský součin dvou spočetných množin je spočetná množina;
• že konečné sjednocení spočetných množin je spočetná množina;
• že reálná čísla ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nejsou spočetná (vizte Cantorovu diagonální metodu).

• Algebraická čísla
• Celá čísla (${\displaystyle \mathbb {Z} }$)
• Přirozená čísla (${\displaystyle \mathbb {N} }$)
• Racionální čísla (${\displaystyle \mathbb {Q} }$)

• Bijekce
• Cantorova diagonální metoda
• Cantorova věta
• Kardinální číslo
• Konečná množina
• Množina
• Mohutnost
• Nekonečná množina
• Nespočetná množina
• Podmnožina
• Rekurzivně spočetný jazyk
• Teorie množin
• Zobrazení (matematika)

• Obrázky, zvuky či videa k tématu spočetná množina na Wikimedia Commons

Teorie množin
Axiomy	axiom výběru • axiom spočetného výběru • axiom závislého výběru • axiom extenzionality • axiom nekonečna • axiom dvojice • axiom potenční množiny • Axiom regulárnosti • axiom sumy • schéma nahrazení • schéma axiomů vydělení • hypotéza kontinua • Martinův axiom • velké kardinály
Množinové operace	doplněk • de Morganovy zákony • kartézský součin • potenční množina • průnik • rozdíl množin • sjednocení • symetrická diference
Koncepty	bijekce • kardinální číslo • konstruovatelná množina • mohutnost • ordinální číslo • prvek množiny • rodina množin • transfinitní indukce • třída • Vennův diagram
Množiny	Cantorova diagonální metoda • fuzzy množina • konečná množina • nekonečná množina • nespočetná množina • podmnožina • prázdná množina • rekurzivní množina • spočetná množina • tranzitivní množina • univerzální množina
Teorie	axiomatická teorie množin • Cantorova věta • forsing • Kelleyova–Morseova teorie množin • naivní teorie množin • New Foundations • paradoxy naivní teorie množin • Principia Mathematica • Russellův paradox • Suslinova hypotéza • Von Neumannova–Bernaysova–Gödelova teorie množin • Zermelova teorie množin • Zermelova–Fraenkelova teorie množin • alternativní teorie množin
Lidé	Abraham Fraenkel • Bertrand Russell • Ernst Zermelo • Georg Cantor • John von Neumann • Kurt Gödel • Lotfi Zadeh • Paul Bernays • Paul Cohen • Petr Vopěnka • Richard Dedekind • Thomas Jech • Willard Quine