Prvek množiny

Prvky množiny (také členy nebo elementy množiny) jsou v matematice takové objekty, které jsou obsaženy v dané množině.

Prvkem množiny může být i jiná množina, ale nesmí obsahovat sama sebe jako prvek. Také výraz „množina všech množin“ vede ke sporu – není to množina.

Prvky (také elementy) množiny se značí obvykle malými písmeny, např. ${\displaystyle a;b;x;y}$.

Skutečnost, že určitý prvek ${\displaystyle a}$ patří do množiny ${\displaystyle A}$ zapisujeme symbolem ∈ (stylizované E z latinského označení prvku – elementum; někdy se slovně označuje jako „patří do“): ${\displaystyle a\in A}$, skutečnost, že ${\displaystyle a\in A}$ lze také vyjádřit tak, že ${\displaystyle a}$ je prvkem ${\displaystyle A}$, náleží do ní, nebo že množina ${\displaystyle A}$ obsahuje prvek ${\displaystyle a}$.

Pokud prvek ${\displaystyle a}$ do množiny ${\displaystyle A}$ nepatří, píšeme ∉ (tento symbol se někdy slově označuje jako „nepatří do“): ${\textstyle a\notin A}$

Prvky každé množiny musí být jednoznačně určeny. Pokud nějaký soubor matematických objektů nesplňuje tuto podmínku, není množinou.^[1]

Např. „MĚSTO“ může být množina „jeho domů“; nebo množina „jeho obyvatel“; nebo množina „jeho škol“ atd. (Tyto množiny se nerovnají, mají i různé počty prvků...).

Počet prvků v množině může být konečný nebo nekonečný. Též nemusí obsahovat prvek žádný, poté mluvíme o prázdné množině.

Množina obsahuje neuspořádaný soubor prvků. Nechť jsou dvě množiny A = {1, 2, 3} a B = {3, 2, 1} tak jsou stejné. Na pořadí prvků v množině nezáleží.

Množina obsahuje více stejných prvků (čísel), tak se uvažuje pouze jediný výskyt daného prvku. Dvě množiny A = {1, 1, 2, 2, 2} a B = {2, 1} považujeme za stejné. Nevadí, že množina A obsahuje "více" prvků, protože obsahuje zdvojené či ztrojené prvky.^[2]

Teorie množin
Axiomy	axiom výběru • axiom spočetného výběru • axiom závislého výběru • axiom extenzionality • axiom nekonečna • axiom dvojice • axiom potenční množiny • Axiom regulárnosti • axiom sumy • schéma nahrazení • schéma axiomů vydělení • hypotéza kontinua • Martinův axiom • velké kardinály
Množinové operace	doplněk • de Morganovy zákony • kartézský součin • potenční množina • průnik • rozdíl množin • sjednocení • symetrická diference
Koncepty	bijekce • kardinální číslo • konstruovatelná množina • mohutnost • ordinální číslo • prvek množiny • rodina množin • transfinitní indukce • třída • Vennův diagram
Množiny	Cantorova diagonální metoda • fuzzy množina • konečná množina • nekonečná množina • nespočetná množina • podmnožina • prázdná množina • rekurzivní množina • spočetná množina • tranzitivní množina • univerzální množina
Teorie	axiomatická teorie množin • Cantorova věta • forsing • Kelleyova–Morseova teorie množin • naivní teorie množin • New Foundations • paradoxy naivní teorie množin • Principia Mathematica • Russellův paradox • Suslinova hypotéza • Von Neumannova–Bernaysova–Gödelova teorie množin • Zermelova teorie množin • Zermelova–Fraenkelova teorie množin • alternativní teorie množin
Lidé	Abraham Fraenkel • Bertrand Russell • Ernst Zermelo • Georg Cantor • John von Neumann • Kurt Gödel • Lotfi Zadeh • Paul Bernays • Paul Cohen • Petr Vopěnka • Richard Dedekind • Thomas Jech • Willard Quine