Pětiúhelníkové číslo

Pětiúhelníkové číslo je v matematice figurální číslo, které rozšiřuje myšlenku trojúhelníkových a čtvercových čísel na pětiúhelník.

• n-té pětiúhelníkové číslo se vypočítá pomocí vzorce:

${\displaystyle p_{n}={\tfrac {3n^{2}-n}{2}}}$

pro n ≥ 1.

• n-té pětiúhelníkové číslo je jedna třetina trojúhelníkového čísla s pořadovým číslem 3n−1.

• Nejjednodušší způsob, jak zjistit, zda je přirozené číslo x pětiúhelníkové, je výpočet hodnoty následujícího výrazu:

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}.}$.

Pokud je n přirozené číslo, potom je x n-té pětiúhelníkové číslo. Pokud nevyjde přirozené číslo, pak x není pětiúhelníkové.

• Pokud je x pětiúhelníkové číslo, tak také platí:

${\displaystyle {\sqrt {24x+1}}=5\mod 6}$.

• Rovněž platí pro 2 k-té pětiúhelníkové číslo:

a_2k = k(6k−1) a také:

a_(2k−1) = (2k−1)(3k−2), a proto je 5 jediné pětiúhelníkové prvočíslo.^[1]

Prvními pětiúhelníkovými čísly jsou 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925 a 1 001.^[1]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Pentagonal number na anglické Wikipedii.

• Obrázky, zvuky či videa k tématu pětiúhelníkové číslo na Wikimedia Commons