Neutrální prvek

V algebře je neutrální prvek e množiny A s binární operací ${\displaystyle \otimes }$ takový prvek, pro nějž platí, že výsledkem operace neutrálního prvku a libovolného x ∈ A je x.

V případě, že se pro operaci používá multiplikativní značení, např. ${\displaystyle \cdot }$, je e často nazýván jednotkovým prvkem ${\displaystyle (1\cdot x=x)}$. V případě použití aditivního značení, např. ${\displaystyle +}$, je e často nazýván nulovým prvkem ${\displaystyle (0+x=x)\!}$. Pro neutrální prvek se někdy také používá výraz identita.

Buď ${\displaystyle A\,}$ množina a ${\displaystyle \otimes }$ operace na ${\displaystyle A\,}$.

• Prvek ${\displaystyle e\in A\,}$ se nazývá levý neutrální, právě když ${\displaystyle \forall x\in A:e\otimes x=x}$.
• Prvek ${\displaystyle e\in A\,}$ se nazývá pravý neutrální, právě když ${\displaystyle \forall x\in A:x\otimes e=x}$.
• Prvek ${\displaystyle e\in A\,}$ se nazývá neutrální, právě když ${\displaystyle \forall x\in A:x\otimes e=e\otimes x=x}$.

• Pokud ${\displaystyle (A,\ \otimes )}$ jsou reálná čísla se sčítáním, je číslo 0 neutrálním prvkem.
• Pokud ${\displaystyle (A,\ \otimes )}$ jsou reálná čísla s násobením, je neutrálním prvkem číslo 1.
• Pokud ${\displaystyle (A,\ \otimes )}$ jsou n-rozměrné čtvercové matice se sčítáním, neutrálním prvkem je nulová matice.
• Pokud ${\displaystyle (A,\ \otimes )}$ jsou n-rozměrné matice s násobením, je neutrálním prvkem jednotková matice.
• Pokud ${\displaystyle (A,\ \otimes )}$ je množina všech zobrazení z množiny ${\displaystyle M\,}$ do sebe sama a ${\displaystyle \otimes }$ je skládání funkcí, je neutrálním prvem funkce identita definovaná ${\displaystyle \forall x\in M:id(x)=x}$.
• Pokud má ${\displaystyle A\,}$ pouze dva prvky ${\displaystyle e\,}$ a ${\displaystyle f\,}$ a operace ${\displaystyle \otimes }$ je definována tak, že ${\displaystyle e\otimes e=f\otimes e=e}$ a ${\displaystyle f\otimes f=e\otimes f=f}$, jsou oba prvky ${\displaystyle e\,}$ a ${\displaystyle f\,}$ levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.

Jak ukazuje poslední příklad, ${\displaystyle (A,\otimes )}$ může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek množiny ${\displaystyle A\,}$ je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině ${\displaystyle A\,}$ levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový.^{[pozn 1]}

• inverzní prvek
• grupa
• monoid
• idempotence