Kartézská mocnina

Kartézská mocnina je matematický pojem z oboru teorie množin, odvozovaný z kartézského součinu podobným způsobem, jako je běžně používaná aritmetická mocnina odvozena ze součinu.

Pokud je ${\displaystyle X\,\!}$ množina a ${\displaystyle n\,\!}$ přirozené číslo, pak kartézskou mocninou ${\displaystyle X^{n}\,\!}$ rozumíme ${\displaystyle n\,\!}$- násobný kartézský součin množiny ${\displaystyle X\,\!}$ se sebou samou:
${\displaystyle X^{n}=\prod _{1\leq i\leq n}X\,\!}$

Speciálně pro ${\displaystyle n=2\,\!}$ dostáváme ${\displaystyle X^{2}\,\!}$ jako množinu všech uspořádaných dvojic prvků z ${\displaystyle X\,\!}$, pro ${\displaystyle n=3\,\!}$ dostáváme ${\displaystyle X^{3}\,\!}$ jako množinu všech uspořádaných trojic prvků z ${\displaystyle X\,\!}$.

Předchozí definici lze zobecnit tak, aby se nevztahovala pouze na konečné množiny:

Kartézskou mocninou ${\displaystyle X^{Y}\,\!}$ množin ${\displaystyle X\,\!}$ a ${\displaystyle Y\,\!}$ rozumíme množinu všech zobrazení množiny ${\displaystyle Y\,\!}$ do množiny ${\displaystyle X\,\!}$.

Všimněme si, že konkrétně pro Y konečné odpovídá tato definice (až na izomorfismus, jak bude vidět v následujícím příkladu, ale tím se není třeba zatěžovat) výše uvedené základní definici – všechny uspořádané dvojice z ${\displaystyle X\,\!}$ nejsou nic jiného, než všechna zobrazení dvouprvkové množiny ( ${\displaystyle Y=\{0,1\}\,\!}$ nebo ${\displaystyle Y=\{1,2\}\,\!}$ ) do ${\displaystyle X\,\!}$. (Uspořádané n-tice prvků určité množiny se standardně definují jako zobrazení z {0,1,… n} nebo {1,2,… n} do této množiny.) Zajímavá začíná být tato definice pro nekonečné ${\displaystyle Y\,\!}$.

Pokud vezmeme za ${\displaystyle Y\,\!}$ množinu všech přirozených čísel ${\displaystyle \omega \,\!}$, dostáváme kartézskou mocninu ${\displaystyle X^{\omega }\,\!}$ – tj. množinu všech nekonečných posloupností prvků množiny ${\displaystyle X\,\!}$.

Mezi výše uvedenými definicemi je přece jen nepatrný rozdíl. Ukážeme si to na následujícím příkladu:

• podle první definice je

${\displaystyle 3^{2}=\{0,1,2\}\times \{0,1,2\}=\{,,,,,,,,\}\,\!}$

• podle druhé definice je

${\displaystyle 3^{2}=\{0,1,2\}^{\{0,1\}}=\{\{,\},\{,\},\{,\},\{,\},\ldots ,\{,\}\}\,\!}$

Obě množiny se sice nepatrně liší způsobem, jakým je realizována posloupnost dvou prvků (v prvním případě jako uspořádaná dvojice, ve druhém jako zobrazení z dvouprvkové množiny), ale strukturu mají shodnou – jsou izomorfní.

• Běžná analytická geometrie pracuje obvykle v afinní rovině nebo v afinním prostoru – což není nic jiného, než množiny ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\,\!}$ a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\,\!}$ ( jako ${\displaystyle \mathbb {R} \,\!}$ je zde označována množina všech reálných čísel).
• Veškeré úvahy teorie množin týkající se binárních relací (například o ekvivalencích nebo o uspořádáních na dané množině ${\displaystyle X\,\!}$) se odehrávají v množině uspořádaných dvojic z dané množiny, tj. v kartézské mocnině ${\displaystyle X^{2}\,\!}$.
• Posloupnosti na množině reálných čísel nejsou nic jiného, než prvky množiny ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }\,\!}$ .
• Obecná (druhá) definice se používá v kardinální aritmetice k definici kardinální mocniny.
• Každá algebraická struktura je obvykle definována jako nějaká množina ${\displaystyle X\,\!}$, na které jsou zavedeny nějaké (nejčastěji binární) operace. Tyto operace nejsou nic jiného, než zobrazení ${\displaystyle X^{2}\,\!}$ do ${\displaystyle X\,\!}$ (obecněji ${\displaystyle X^{n}\,\!}$ do ${\displaystyle X\,\!}$, kde ${\displaystyle n\,\!}$ je arita konkrétní operace).

• Kartézský součin
• Kardinální aritmetika