Cauchyovská posloupnost

(a) Graf Cauchyovké posloupnosti ${\displaystyle (x_{n}),}$ uvedené modře, jako závislost ${\displaystyle x_{n}}$ na ${\displaystyle n}$. Pokud prostor obsahující posloupnost je úplný, leží v něm „konečný cíl“ této posloupnost (tj. limita).

(b) Posloupnost, která není Cauchyovská. Členy této posloupnosti se neblíží libovolně blízko.

Cauchyovská posloupnost (také bolzanovská posloupnost) je taková posloupnost prvků metrického prostoru (tj. množiny, na které je definována vzdálenost mezi každými dvěma prvky), jejíž členy se k sobě blíží libovolně blízko. Každá konvergentní posloupnost je nutně cauchyovská. Obráceně to platí pouze v úplném metrickém prostoru – v úplném metrickém prostoru má každá cauchyovská posloupnost limitu.

V metrickém prostoru M s metrikou ${\displaystyle \rho }$ je posloupnost ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots )}$ cauchyovská, pokud pro každou libovolně malou (ale nenulovou) vzdálenost platí, že od jistého bodu jsou všechny členy posloupnosti k sobě blíže než je tato vzdálenost. Tuto tzv. Bolzanova-Cauchyho podmínku lze formálně zapsat

${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )(\forall m\in \mathbb {N} )(n>n_{0}\land m>n_{0}\Rightarrow \rho (x_{n},x_{m})<\varepsilon )}$.

Definici lze aplikovat i na racionální a reálná čísla (jakožto jednorozměrný metrický prostor s eukleidovskou metrikou): Posloupnost ${\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ racionálních nebo reálných čísel je cauchyovská, pokud ke každému ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje index ${\displaystyle n_{0}}$ takový, že jím počínaje jsou všechny následující členy od sebe vzdáleny o méně než ${\displaystyle \varepsilon }$:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists n_{0}\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq n_{0}\colon \quad \left|a_{m}-a_{n}\right|<\varepsilon }$.

Množina racionálních čísel není úplná, takže cauchyovská posloupnost racionálních čísel nemusí mít limitu (může konvergovat k iracionálnímu číslu). Množina reálných čísel úplná je, takže každá cauchyovská posloupnost reálných čísel má limitu.

• Každá konvergentní posloupnost v metrickém prostoru je cauchyovská, tzn. Bolzanova-Cauchyho podmínka je nutná podmínka konvergence, nikoli však obecně postačující (viz příklad racionálních čísel). Metrický prostor ${\displaystyle \mathbb {A} }$, v kterém má každá cauchyovská posloupnost limitu, která náleží do tohoto metrického prostoru ${\displaystyle \mathbb {A} }$, se nazývá úplný metrický prostor.
• Každá konvergentní posloupnost reálných čísel je cauchyovská a naopak. Bolzanova-Cauchyho podmínka je nutná a postačující podmínka konvergence v reálném oboru. Cauchyovská posloupnost racionálních čísel však může mít iracionální limitu.
• Každá cauchyovská posloupnost je omezená. Z Bolzanovy–Weierstrassovy věty pak plyne, že každá cauchyovská posloupnost reálných čísel je už konvergentní, tzn. že prostor reálných čísel je úplný.

• Harmonická posloupnost ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ je cauchyovská.

  Důkaz: Pro libovolně zvolené ${\displaystyle \varepsilon >0}$ lze vždy najít ${\displaystyle n_{0}>{\frac {1}{\varepsilon }}}$ tak, že pro libovolná ${\displaystyle n\geq m>n_{0}}$ platí

  ${\displaystyle |a_{m}-a_{n}|=\left|{\frac {1}{m}}-{\frac {1}{n}}\right|=\left|{\frac {n-m}{mn}}\right|\leq {\frac {n}{mn}}={\frac {1}{m}}<{\frac {1}{n_{0}}}<\varepsilon }$.

• Posloupnost racionálních čísel ${\displaystyle (1+1/n)^{n}}$ je cauchyovská, ale její limita je Eulerovo číslo, což je číslo iracionální. Prostor racionálních čísel (s eukleidovskou metrikou) proto není úplný metrický prostor.

Pomocí cauchyovské posloupnosti se definuje úplný metrický prostor. V něm cauchyovské posloupnosti a konvergentní posloupnosti splývají. To pak přináší výhodu při určování, zda posloupnost má limitu, neboť stačí ověřit, zda je cauchyovská, bez nutnosti samotnou limitu zjišťovat, jako např. u Banachovy věty o pevném bodě.

• Limita posloupnosti
• Úplný metrický prostor